02 Şubat 2023, Perşembe
28.05.2021 06:00

Matematik nedir, ne işe yarar?

Kağıda çizdiğiniz bir “kare” gerçekten bir kare midir? Kalemin kağıda bıraktığı izin eni sıfırdan büyüktür ama matematikçiler için bu “doğru parçaları”nın eni yoktur

Tarihin en başarılı ders kitabı, M.Ö. 300’de yazıldı. İskenderiyeli Öklid’in Elemanlar’ı binlerce yıl boyunca “iyi eğitimli” herkesin okuması gereken kitaplar arasında sayılageldi. (Türkçe’ye 2019’da çevrildi.) Bir ders kitabı nasıl 2300 yıl güncelliğini koruyabilir? Diğer bilim dalları kuramlarını doğa karşısında sınar, sınavda çakanları çöpe atıp fikir değiştirerek gerçeğe yaklaşmaya çalışır, yanlışlanan kuramlara dayalı müfredatı güncellerken Öklid’in onca asır önce yazdıkları nasıl hâlâ doğru olabiliyor? Yanıt Elemanlar’ın konusu olan matematiğin diğer “bilme” uğraşlarından farkında gizli. Matematik gerçek dünyanın hem içinde hem de dışındadır. İlkokul öğrencilerine geometriyi tanıtmak için “Ali’nin kare şeklinde bir tarlası var” gibi “gerçek hayat” örnekleriyle başlansa da detaylı düşündüğünüzde işin rengi değişir. Kağıda çizdiğiniz bir “kare” gerçekten, “resmen” bir kare midir? Kaleminizin ucu ne kadar sivri olursa olsun, bıraktığı izin eni daima sıfırdan büyüktür (aksi takdirde çizgileri göremezdiniz) ama matematikçilerin gözünde bu “doğru parçaları”nın enleri yoktur. Karenizin gerçek kenarları çizdiğiniz bu “kalın” çizgilerin neresine denk gelmektedir? Ali (yuvarlak gezegenimizin kıvrık yüzeyindeki) arazisine mükemmel (kıvrılmayan, “dümdüz”) bir kare çizebilir mi?

Gerçek dünyanın dışına çıkmak

Bu baş ağrıtıcı sorulardan kurtulup işin zevkli kısmına geçebilmek için Öklid’in dahiyane fikrini kullanırız: Gerçek dünya hakkında konuştuğumuz iddiasını bir yana bırakırız. Anlatımıza kullanacağımız kelimelerin (söz gelimi geometride “nokta”, “doğru”, “üçgen” vs. her kavramın) anlamlarını net şekilde tanımlayarak başlarız. Metnimizin geri kalanında artık o sözlerin günlük hayattaki anlamlarını andıran ama çoğunlukla birebir örtüşmeyen bu “resmi” tanımlara uyan, ideal nesnelerden bahsederiz. (İleri düzeylerde yepyeni kavramlara ihtiyaç duyar, onları isimlerini de kendimiz koyarak tanımlarız.) Matematiğin her dediğinin “doğru” olmasını sağlayan iki özelliğinden ilki, başlangıçta gerçek dünyadan ideal dünyaya yapılan bu sıçramadır. İkinci özellik, cümleleri birbirlerine Lego parçaları gibi takarak eldeki doğru cümlelerden daha önce hiç kurulmamış yeni doğru cümleler üretmeye izin veren bir tekniktir. Şu iki cümleyi düşünün: “Bütün filler ağırdır.” “Jumbo bir fildir.” Yukarıdaki iki cümlenin de doğru olduğuna inanan bir kişinin “Jumbo ağırdır” cümlesine de “otomatikman” inanması gerektiğini görüyor musunuz? Matematikçiler yeni doğruları bilinenlerden böyle yöntemlerle üretirler. Her adımda becerilerini kullanıp doğruluğu kendisinden öncekilere bakarak kolayca teyit edilebilen yeni bir cümle ekleyerek cümle zincirleri kurarlar. Eğer bu sürecin sonunda gerçekten ilginç, daha önce kimsenin varamadığı bir cümleye varmayı başarırlarsa sevinirler, çünkü böylece o yeni cümleyi “ispat” etmiş, başka hiçbir matematikçinin itiraz edemeyeceği şekilde insanlığın bildikleri arasına eklemiş olurlar. 

Makul ve tutarlı cümleler seçilir

Ama bir dakika! Mevcut doğrulardan yeni doğrular çıkarsanabileceğini gördük ama bu zincir nerede başlayacak? İlk kurduğumuz cümlenin doğru olduğunun garantisi nerede? Öklid bunun da çaresini bulmuştur: İyi seçilmiş birkaç cümleyi (bunlara “belit” denir) kanıtsız doğru kabul edeceğimizi ilan ederek söze başlarız. İleride varacağınız her sonuç, bu kabulün doğruluğuna bağlıdır. Belitlerinizi kabul etmeyen birisinin sonrasında dediklerinize inanma zorunluğu yoktur, o yüzden belitler mümkün olduğu kadar makul ve birbiriyle tutarlı cümlelerden seçilir. Yani matematik aynı birkaç cümleyi doğru varsayıp üzerlerine mantık binaları kuran kişiler arasında yapılan bir tür yarışmadır. Varılan sonuçlar, belitlerin doğru olduğu bir dünyada kesinkes ve değişmez şekilde doğrudur ama o dünyanın gerçek dünyamız olup olmadığı konusunda bir şey söylenmez. Gerçek dünya, fizik gibi diğer bilim dallarının konusudur. “Oyun bu! Boş iş!” demeyin. Esas sürpriz şimdi. Diğer bilim dalları doğayı incelediklerinde matematiksel bir düzenle karşılaşırlar! Gezegenler birbirlerini rastgele değil, kısa ve “güzel” matematiksel denklemlerle kodlanan şekilde çekmekte, doğanın yapı taşları matematikçilerin (kimi hallerde aradaki bağlantıdan hiç haberleri yokken, sadece güzelliğine kapıldıkları için geliştirdikleri) çerçevelere uygun çalışmaktadır. Pirimiz Galileo’nun dediği gibi “Evren matematik dilinde yazılmıştır, onu bilmeyen anlayamaz”, bilenler ise doğanın ve insanın sırlarını çözmeyi, hayalleri zorlayan teknolojiler geliştirmeyi ve Stephen Hawking’in deyimiyle “Tanrı’nın zihni”ni hedefleyebilir.