23 Mayıs 2024, Perşembe Gazete Oksijen
16.07.2021 04:30

Königsberg’den Boğaziçi’ne

Baltık kıyısındaki Königsberg kentini iki yakaya ayıran Pregel nehrinin ortasında iki büyük ada vardı. Bu dört kara parçası yedi ayrı köprüyle birbirlerine bağlanıyordu. Bir gün meraklı bir Königsberglinin aklına ilginç bir soru geldi: “Bütün köprülerden sadece bir kez geçerek başladığı noktaya dönen bir yürüyüş yolu var mı?” Yürümekten bezip problemi masa başında harita üstünde çözmeye çalışanlar da dahil olmak üzere kimse bir cevap bulamadı. Böyle bir rota imkânsız gibi görünüyordu ama “ya mümkünse de biz gözden kaçırıyorsak?” diyenleri ikna edecek, dahası, bir köprü yıkılır veya birkaç yeni köprü yapılırsa oluşacak yeni problemleri de çözmekte kullanılabilecek şık bir yöntem bilinmiyordu. Königsberglilerin sorununu bir İsviçreli çözdü. 92 cildi dolduran eserleriyle tarihin en üretken matematikçisi olan Leonhard Euler, 1736’da yayımlanan makalesinde sadece Königsberg’de böyle bir turun mümkün olmadığını kanıtlamakla kalmadı, bugün “çizge kuramı” dediğimiz ve birçok bilim dalının vazgeçilmezi olan matematik kolunu da tek başına kurdu. Königsbergli matematikçilerin en ünlüsü, David Hilbert’tir. Matematiğin birçok dalında onun adını taşıyan kavramlarla karşılaşabilirsiniz ama Hilbert’in öykümüzdeki rolü cevapladığı değil, sorduğu sorularla ilgili. 1900 yılındaki Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nde 20. yüzyıldaki meslektaşlarına meydan okuma niteliğinde bir konuşma yapan Hilbert, kendi değerlendirmesine göre matematiğin o ana dek çözülememiş en önemli problemlerini listeledi. “Hilbert’in Problemleri” diye anılan bu soruların kimilerinin yanıtlanması yıllar sürdü, kimileri hâlâ yanıtlanamadı ama tümü de peşlerine düşen nice matematikçiyi heyecanlandırıp önemli gelişmelere imza atmalarına yol açtı. Hilbert’in listesindeki 10’uncu problem “tamsayı katsayılı polinom denklemleri” hakkındaydı. Okuru sıkmamak için bunların ne olduğunun detayına girmeyeyim, bu uzun adı da bir daha yazmayayım, bunlara kısaca “H denklemleri” diyelim. Hilbert, “Verilen bir H denkleminin tamsayı bir çözümü olup olmadığını saptayan bir yöntem bulun!” diyordu. Tastamam 70 yıl sonra, Yuri Matiyaseviç adında 23 yaşında bir Rus, Hilbert’in bu istediğinin imkânsız olduğunu, yani öyle bir yöntemin var olmadığını ispatladı.

O problem yıllarca peşimi bırakmadı

1989’da doktora tezim için konu arıyordum. Danışman hocam birkaç yıl önce Ben Kuipers adında bir ABD’linin önemli bir yapay zekâ dergisinde yayımladığı bir makaleyi okumamı önerdi. Kuipers “nitel benzetim” adını verdiği bir algoritma icat etmişti: Hakkında tam bilgiye sahip olmadığınız bir fiziksel sistemin ilerideki davranışını (mesela tam hızını değil, sadece gidiş yönünü bildiğiniz bir topun bu andan itibaren nasıl hareket edeceğini) hesaplamak için kullanılabilen ilginç bir yöntemdi bu. İşin güzel tarafı, algoritmanın yazarının da açık yüreklilikle belirttiği bazı sorunları vardı: Gelecekle ilgili makul tahminlerinin arasına bazen hiç olmayacak, saçma sonuçlar karışıyordu. Bu “sahte tahmin”leri tümüyle elemenin bir yolu bulunsa harika olacaktı. Konu ilgimi çekti. Algoritmanın bazı kusurlarına çare buldum, yeni yöntemler geliştirdim. Tezim bitti, Boğaziçi’nde hoca oldum. Başka projeler yaptım. Ama o ilk problem seneler boyu peşimi bırakmadı. Hemen her yıl algoritmanın yeni bir sahte tahminini yakalıyor ve bir daha o şekilde saçmalamayacağını garantilediğim yeni bir sürümünü yazıyordum. Giderek iyileşiyordu ama acaba böyle düzeltmelerle günün birinde hiç saçmalamayan “ideal” sürüme ulaşabilecek miydim, bilemiyordum. 2002’de keşif coşkusuyla dolu birkaç günün sonunda Kuipers’in neredeyse 20 yıl önce sorduğu, benim de 13 yıldır düşündüğüm sorunun cevabını buldum. Hiç saçmalamayan bir nitel benzetim algoritması imkânsızdı. Bulmacayı çözmek için programcı gibi değil, matematikçi gibi düşünmek gerekiyormuş. “Varsayalım ki aradığımız mükemmel algoritmayı bulduk. Onu kullanarak hangi problemleri çözebiliriz?” diye düşündüm. Anladım ki böyle “ideal” bir programa birtakım dolambaçlı yöntemlerle “şu H denkleminin tamsayı çözümü var mı?” sorusunu sorup doğru cevabı almak mümkündü. Yani hedeflediğimiz şey, Matiyaseviç’in 32 yıl önce asla yapılamayacağını kanıtladığı şeydi. Yani boşa kürek çekiyorduk. Kendi araştırma hedefimin imkânsızlığını ispat etmek tuhaf bir duyguydu tabii. O günden sonra bilgisayarların ne yapabileceğinden çok ne yapamayacaklarıyla, doğanın biz bilgisayarcılara koyduğu bu tür yasaklarla daha çok ilgilenmeye başladım. Matematik harika bir şey. Beklemediğiniz anda karşınıza ölmüş bir Alman veya Rus çıkıp yolunuzu değiştirebiliyor.